两个矩阵相似的充要条件：两者的秩相等;两者的行列式值相等;两者的迹数相等;两者拥有同样的特征值(重数一致)，尽管相应的特征向量一般不同;两者拥有同样的特征多项式;两者拥有同样的初等因子。
两个矩阵相似的充分必要条件
1. 核心充要条件
两个n阶矩阵A与B相似的充要条件是：特征矩阵等价、行列式因子相同、不变因子相同、初等因子相同，且特征矩阵的秩相同，同时它们的转置矩阵也相似。
补充说明：两个矩阵秩相同可说明等价的前提是必须为同型矩阵，而相似矩阵本身必为同型方阵，故秩相等是相似的必要条件之一。
定义：设A，B为n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，其逆矩阵也相似。n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。
小例题：矩阵A=[[1.1],[0.1]](特征值为二重1.仅1个线性无关特征向量，不可对角化)与B=[[1.0],[0.1]](特征值为二重1.有2个线性无关特征向量，可对角化)，二者特征值相同但不相似，直观体现仅特征值相等不足以判定相似。
2. 扩展知识
若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵;若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵的可逆性一致，可逆时逆矩阵也相似。
需注意：两个矩阵仅特征值相等时，未必相似。但当两个矩阵均为实对称矩阵时，特征值相同则必相似——因实对称矩阵必可对角化，特征值相同意味着二者均可对角化至同一对角矩阵，故满足相似条件。
综上，n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量，不可仅凭特征值判定相似性，需结合可对角化性质综合判断。
相关信息仅供参考。
