一元二次方程的解法及有解条件详解

　　一元二次方程的解法主要有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等，解一元二次方程的核心前提是判断方程是否有实数解，方程有解的条件是：Δ≥0(Δ 为根的判别式)，且 Δ=b²-4ac。当 Δ>0 时，方程 ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;当 Δ=0 时，方程 ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根。

　　一、一元二次方程有几种解法

　　(一)直接开平方法

　　依据的是平方根的意义，步骤是：①将方程转化为 x²=p 或(mx+n)²=p 的形式;②分三种情况降次求解：当 p>0 时，方程有两个不相等的实数根;当 p=0 时，方程有两个相等的实数根;当 p<0 时，方程无实数根。小例题：解方程 x²=9.转化为直接开平方式，得 x=±3.即方程的根为 x₁=3.x₂=-3.需要注意的是，直接开平方法只适用于部分一元二次方程，仅能解可转化为 x²=p 或(mx+n)²=p 形式的方程，其中 p 为常数，当 p≥0 时，开方要取正、负两个值。

　　(二)配方法

　　把一般形式的一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)左端配成含有未知数的完全平方式，右端化为非负常数，进而可用直接开平方法求解。小例题：解方程 x²-2x-3=0.通过配方转化为 (x-1)²=4.再用直接开平方法求解即可。一般步骤：移项、将二次项系数化成 1、配方、开平方根。配方法适用于解所有一元二次方程。

　　(三)公式法

　　利用求根公式直接求解，把一元二次方程的各系数代入求根公式，即可直接求出方程的解。小例题：解方程 2x²-3x-1=0.确定 a=2、b=-3、c=-1.计算判别式后代入求根公式即可求解。一般步骤为：(1) 把方程化为一般形式 ax²+bx+c=0(a≠0);(2) 确定 a、b、c 的具体值;(3) 计算 b²-4ac 的值;(4) 当 b²-4ac≥0 时，把 a、b、c 及 b²-4ac 的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根;当 b²-4ac<0 时，方程没有实数根。需要注意的是，公式法是解一元二次方程的一般方法，也被称作万能方法，对于任意一个一元二次方程，只要有实数解，就一定能用求根公式解出来。求根公式是通过配方法推导而来的，用它直接解方程可避免繁杂的配方过程，因此无特别要求时，一般不使用配方法解方程。

　　(四)因式分解法

　　先对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再令这两个一次式分别等于 0.从而实现降次求解。小例题：解方程 x²-5x+6=0.因式分解为 (x-2)(x-3)=0.解得 x₁=2.x₂=3.一般步骤为：(1) 移项：将方程的右边化为 0;(2) 化积：把左边因式分解成两个一次式的积;(3) 转化：令每个一次式都等于 0.转化为两个一元一次方程;(4) 求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。需要注意的是：(1) 在方程的右边没有化为 0 前，不能对左边进行因式分解;(2) 不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解，即因式分解法仅适用于部分一元二次方程。

　　二、一元二次方程有解的条件是什么

　　一元二次方程有实数解的条件是：根的判别式 Δ≥0.且 Δ=b²-4ac(a≠0)。当 Δ>0 时，方程 ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;当 Δ=0 时，方程 ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根。

　　补充：一元二次方程是只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是 2(二次)的整式方程，其一般形式为：ax²+bx+c=0(a≠0)。其中 ax² 是二次项，a 是二次项系数;bx 是一次项，b 是一次项系数;c 是常数项。

　　相关信息仅供参考。