平面与平面垂直的判定方法及性质

　　一般地，两个平面相交，若它们所成二面角的平面角为90°(即直二面角)，则这两个平面互相垂直。此外，若一个平面过另一个平面的垂线，这两个平面也互相垂直。下面具体梳理其定义、判定方法及性质。

　　一、平面与平面垂直的定义

　　平面与平面垂直的定义：若两个平面相交形成的二面角为直二面角(平面角是直角)，则这两个平面互相垂直。

　　二、平面与平面垂直的判定方法

　　定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。

　　判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。几何描述：若直线a⊥平面β，且a⊂平面α，则α⊥β。

　　推论1：如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

　　推论2：如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。

　　判定定理证明

　　任意两个平面的位置关系为相交或平行。设a⊥β，垂足为P，则P∈β。因a⊂α且P∈a，故P∈α，即α与β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，由于P是α和β的公共点，故P∈b。过P在β内作直线c⊥b，因b⊂β且a⊥β，故a⊥b(垂足为P)。又c⊥b(垂足为P)，所以∠aPc是二面角α-b-β的平面角。又因c⊂β，a⊥β，故a⊥c，即∠aPc=90°。根据面面垂直的定义，可得α⊥β。

　　三、平面与平面垂直的性质

　　若两平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面。

　　若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线，平行于另一个平面或在另一个平面内。

　　若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面。

　　若两平面垂直，经过第一个平面内一点作垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面内(且唯一)。

　　小例题

　　在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：平面AA₁B₁B⊥平面ABCD。证明：因长方体中AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，且AB∩AD=A(AB、AD⊂平面ABCD)，故AA₁⊥平面ABCD。又AA₁⊂平面AA₁B₁B，由判定定理得平面AA₁B₁B⊥平面ABCD。

　　相关信息仅供参考。