偶函数减奇函数的函数类型判定及奇偶函数运算规律

　　一、偶函数减奇函数等于什么函数

　　证明过程：设f(x)是定义域关于原点对称的偶函数，g(x)是定义域关于原点对称的奇函数，令新函数h(x)=f(x)−g(x)，则h(x)的定义域与f(x)、g(x)的公共定义域一致，也关于原点对称。检验偶函数性质：根据奇偶函数定义，f(−x)=f(x)，g(−x)=−g(x)，因此h(−x)=f(−x)−g(−x)=f(x)+g(x)，显然h(−x)=h(x)，不满足偶函数定义。检验奇函数性质：−h(x)=−f(x)+g(x)，而h(−x)=f(x)+g(x)，二者显然不相等，即h(−x)=−h(x)，不满足奇函数定义。因此，一个偶函数减去一个奇函数得到的新函数为非奇非偶函数。

　　小例题：设f(x)=x2(偶函数)，g(x)=x(奇函数)，则h(x)=x2−x，计算得h(−x)=(−x)2−(−x)=x2+x，既不满足h(−x)=h(x)，也不满足h(−x)=−h(x)，验证结论成立。

　　二、奇函数和偶函数加减乘除的运算规律

　　奇偶函数的四则运算规律(前提：参与运算的函数定义域均关于原点对称，除法运算中分母不为 0)：

　　1. 加法规则

　　奇函数加奇函数，所得函数为奇函数

　　偶函数加偶函数，所得函数为偶函数

　　偶函数加奇函数，所得函数为非奇非偶函数

　　2. 减法规则

　　奇函数减奇函数，所得函数为奇函数

　　偶函数减偶函数，所得函数为偶函数

　　奇函数减偶函数，所得函数为非奇非偶函数

　　偶函数减奇函数，所得函数为非奇非偶函数

　　3. 乘法规则

　　奇函数乘奇函数，所得函数为偶函数

　　奇函数乘偶函数，所得函数为奇函数

　　偶函数乘偶函数，所得函数为偶函数

　　4. 除法规则

　　奇函数除奇函数，所得函数为偶函数

　　奇函数除偶函数，所得函数为奇函数

　　偶函数除偶函数，所得函数为偶函数

　　补充：奇函数 ± 偶函数的运算结果均为非奇非偶函数，本质是两类函数的对称性无法叠加形成新的奇偶对称性。

　　相关信息仅供参考