非齐次线性方程组的通解

　　非齐次线性方程组的通解可表示为其对应的齐次线性方程组(导出组)的通解，加上该非齐次线性方程组的一个特解，即(eta = zeta + eta^*)((zeta)为导出组通解，(eta^*)为非齐次方程组特解)。求解核心步骤为：对增广矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵，求导出组的基础解系，求非齐次方程组的一个特解，最终按解的结构写出通解。

　　一、非齐次线性方程组的通解求解方法

　　非齐次线性方程组的通解公式严格满足：通解 = 对应齐次线性方程组(导出组)的通解 + 非齐次线性方程组的一个特解，标准表达式为(eta = zeta + eta^*)。

　　(一)扩展资料

　　非齐次线性方程组(Nonhomogeneous linear equations)，特指常数项不全为零的线性方程组，其矩阵表达式为(Ax = b)(其中(A)为系数矩阵，(x)为未知数向量，(b)为非零常数项向量)。

　　(二)具体解法

　　对增广矩阵(B = (A, b))施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵。若系数矩阵秩(R(A) < R(B))，则方程组无解。

　　若(R(A) = R(B))，进一步将(B)化为行最简形矩阵，便于求解。

　　设(R(A) = R(B) = r)，将行最简形中(r)个非零行的非零首元对应的未知数(主变量)，用其余(n - r)个未知数(自由未知数)表示，进而求特解与导出组基础解系。

　　示例：求解方程组(egin{cases}x_1 + x_2 - x_3 = 1 \ 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 3end{cases})，增广矩阵(B = egin{pmatrix}1&1&-1&1 \ 2&3&-1&3end{pmatrix})，经初等行变换化为(egin{pmatrix}1&0&-2&0 \ 0&1&1&1end{pmatrix})，(R(A)=R(B)=2 < 3)，有无穷多解。取自由未知数(x_3 = 0)，得特解(eta^* = (0. 1. 0)^T);导出组基础解系为(zeta_1 = (2. -1. 1)^T)，通解为(eta = (0. 1. 0)^T + k(2. -1. 1)^T)((k)为任意常数)。

　　(三)解的存在性判定

　　非齐次线性方程组有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即(rank(A) = rank(A, b))，否则方程组无解。

　　有唯一解的充要条件：(rank(A) = n)((n)为未知数个数);

　　有无穷多解的充要条件：(rank(A) < n)。

　　二、求非齐次线性方程组解的注意事项

　　求非齐次线性方程组解的注意事项主要包括以下三方面：

　　首先，明确有解条件。非齐次线性方程组有解的充要条件是(rank(A) = rank(A, b));在此前提下，(rank(A) = n)时有唯一解，(rank(A) < n)时有无穷多解，需先判定再求解，避免无效运算。

　　其次，掌握通解结构。(eta = zeta + eta^*)是核心公式，导出组通解(zeta)包含所有自由未知数对应的线性组合，特解(eta^*)可通过赋值自由未知数为0简便求得，二者缺一不可。

　　最后，规范求解步骤：第一步写出增广矩阵，确保系数与常数项对应无误;第二步仅通过初等行变换化简(不可用列变换，避免改变解的结构);第三步求特解与导出组通解;第四步按公式组合得到通解。

　　相关信息仅供参考。