一、多边形的面积和外角

1、多边形

（1）定义

在平面内，由三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

（2）多边形的内角

多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。

（3）多边形的外角

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。补充：任意多边形的外角和都为360°，这是多边形外角的重要性质。

（4）多边形的对角线

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

一个n（n≥3）边形从一个顶点出发有（n−3）条对角线，所有对角线的数量是n(n−3)/2条。

（5）凸多边形

画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。

（6）正多边形

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

2、多边形的面积

（1）普通多边形的面积

三角形面积：(1/2)×底×高。

四边形面积：可将其分成2个三角形，分别计算2个三角形面积的和。

五边形：可将其分成3个三角形，分别计算3个三角形面积的和。

六边形：可将其分成4个三角形，分别计算4个三角形面积的和。

……

（2）特殊多边形的面积

正三角形面积：(1/2)×底×高。

长方形面积：长×宽。

正方形面积：边长×边长。

菱形面积：(1/2)×对角线的乘积。

平行四边形面积：边长×该边长对应的高。

正五边形面积：(5/2)×边长×边心距（边心距即边中心到五边形中心的距离，可将正五边形分为5个全等的等腰三角形）。

正六边形面积：3×边长×边心距（可将正六边形分为6个全等的等边三角形）。

二、多边形的面积与外角相关例题

例题1：面积相关计算

若正三角形与正六边形的周长相等，已知这个正三角形的面积是12平方厘米，那么这个正六边形的面积是多少？

答案：18平方厘米

解析：第一步，设正六边形的边长为a，正三角形的边长为b。根据周长相等的条件，正六边形周长为6a，正三角形周长为3b，因此有6a=3b，化简可得b=2a，即正三角形边长是正六边形边长的2倍。第二步，将正三角形和正六边形进行拆分：正三角形可平均分成4个边长为a的小正三角形（连接各边中点即可），正六边形可平均分成6个边长为a的小正三角形。由于拆分后的小正三角形边长均为a，因此所有小正三角形的面积相等。第三步，计算单个小正三角形的面积：正三角形总面积为12平方厘米，对应4个小正三角形，故单个小正三角形面积为12÷4=3平方厘米。第四步，计算正六边形面积：正六边形由6个小正三角形组成，因此面积为3×6=18平方厘米。

例题2：外角性质应用

一个多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形？它的内角和是多少？

答案：十边形，内角和为1440°

解析：第一步，根据多边形外角和为360°的性质，已知每个外角为36°，则多边形的边数n=360°÷36°=10，即该多边形为十边形。第二步，计算内角和：多边形内角和公式为（n-2）×180°，代入n=10，可得内角和为（10-2）×180°=1440°。

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