一、运用公式法解一元二次方程的步骤

　　1、公式法概述

　　解一元二次方程时，需先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0(a=0)。当根的判别式 b2−4ac⩾0 时，方程的实数根可表示为 x=2a−b±b2−4ac​​，该式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解题的方法即为公式法，由公式可知一元二次方程最多有两个实数根。

　　温馨提示：应用公式法的前提是 a=0.若 a=0.方程将退化为一元一次方程，需用对应方法求解。

　　2、一元二次方程根的个数与根的判别式的关系

　　一般地，式子 b2−4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a=0)的根的判别式，通常用希腊字母 Δ 表示，即 Δ=b2−4ac。

　　当 Δ=b2−4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根，即 x1​=2a−b+b2−4ac​​，x2​=2a−b−b2−4ac​​;

　　当 Δ=b2−4ac=0 时，方程有两个相等的实数根，即 x1​=x2​=2a−b​;

　　当 Δ=b2−4ac<0 时，方程无实数根。

　　3、利用公式法解一元二次方程的一般步骤

　　移项整理：将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0(a=0)，移项时注意变号，避免漏项;

　　确定系数：准确找出一般形式中 a、b、c 的值，注意符号不能混淆;

　　计算判别式：代入公式计算 Δ=b2−4ac 的值，重点关注符号计算;

　　代入求解：若 Δ⩾0.将 a、b、c 及 Δ 的值代入求根公式，计算得出方程的根;若 Δ<0.直接判定方程无实数根。

　　4、一元二次方程根的判别式的应用

　　根的判别式的核心应用的有三类场景：

　　不解方程，直接通过 Δ 的正负性及是否为 0.判定根的个数(无实根、两个相等实根、两个不相等实根);

　　根据方程根的已知情况(如 “有两个不相等实根”)，反推方程中字母系数的取值范围;

　　证明类问题：通过计算 Δ 的值，证明方程根的具体情况(如 “证明该方程总有两个不相等实根”)。

　　二、运用公式法的相关例题

　　例题 1(基础计算类)

　　用公式法解一元二次方程 2x2−5x+2=0.正确答案是( )A.x=2 或 x=21​ B.x=4−5±17​​ C.x=45±3​ D.x=45±41​​

　　答案：A解析：第一步，方程已为一般形式 2x2−5x+2=0.可得 a=2.b=−5.c=2(注意 b 的符号为负);第二步，计算判别式 Δ=b2−4ac=(−5)2−4×2×2=25−16=9>0.满足有两个不相等实根的条件;第三步，代入求根公式 x=2a−b±Δ​​，得 x=2×25±9​​=45±3​;第四步，计算得 x1​=45+3​=2.x2​=45−3​=21​，故选 A。

　　例题 2(判别式应用类)

　　若一元二次方程 x2−2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )A.k<1 B.k>1 C.k⩽1 D.k⩾1

　　答案：A解析：方程为一般形式 x2−2x+k=0.其中 a=1.b=−2.c=k。因方程有两个不相等的实数根，故 Δ>0.计算 Δ=(−2)2−4×1×k=4−4k>0.解得 4k<4.即 k<1.故选 A。

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